DÜZENDEKİ KAOS

Kaos teorisi, son 40-50 yıldır yoğun bir şekilde üzerinde çalışılan yeni bir bilim dalının temel hareket noktasıdır. Temelleri Henri Poincaré tarafından 1880 ‘li yıllarda ortaya atılsa da daha eski medeniyetlerde bu kavrama dair felsefi bir alt yapı vardı. Bu konuya ciddi katkısı olan isimlerin bazıları, Edward Lorenz, Benoit Mandelbrot, Mitchell Feigenbaum dur.

İsimlendirme olarak kullanılan kelime, yani “Kaos” bilimsel alışkanlığın bir tezahürüdür. Yüzyıllardır baskın olan bu alışkanlık redüksiyonizmdir. Redüksiyonizm, yani indirgemecilik; bir sistemin parçalarının tek tek çözümlenmesi ile bütün sistemin anlaşılabileceği düşüncesini kabul eder.

Buna göre sistemin bütün küçük parçalarının davranışı kümülatif olarak toplandığında daha üst sistemin davranışını açıklayabilir. Determinizm bu şekilde ortaya çıkmış bir düşünce akımıdır. Yani hesaplanabilir öngörülebilir bir Evren düşüncesi.

Hâlbuki pek çok doğal sistem, alt sistem davranışlarının bilinmesine rağmen hesaplanabilir ve öngörülebilir olmaktan çok uzaktır.

Her ne kadar yanlış adlandırılmışta olsa Kaos teoremi temel olarak başlangıç koşullarının elde edilecek sonuca son derece duyarlı olduğunu vaz eder. Kelebek Etkisi bu duruma verilen en yaygın örnektir.


Örnek olarak vereceğim sistemde fraktal bir yapı oluşturacağız. Düzenli ve basit bir kural kullanarak başlayacağımız sistem sonuçta yine düzenli bir sonuç üretecek ancak Kaos’ un temel argümanı olan “Başlangıç koşullarına aşırı duyarlı” bir sonuç üretecektir.

Buna göre örneğimiz; keyfi uzunlukta bir doğru parçası seçerek başlayacak.
İlk kuralımız, tek çizgilerin kalınlığının ortalaması kadar çift çizgilerin uzunluğunu, çift çizgilerin kalınlığının ortalaması kadar tek çizgilerin uzunluğunu kısaltarak, yeni bir doğru oluşturmak,

İkinci kuralımız ise bu doğruyu bir önceki doğruya paralel olarak ve çizgi kalınlığı kadar mesafeye yerleştirmek, sonraki iterasyonlarda ise bu işlemi tekrarlayacağız.

Bir kalem kağıtla veya bilgisayarla bu işlemi yaptığınızda göreceğiniz şey her zaman bir üçgendir. Geometride üçgenle ilgili bilinmeyen bir şey kalmamıştır. Ancak kaotik olarak oluşturulan bir fraktalin sonuç olarak bir üçgeni verebilmesi sık rastlanabilen bir şey değildir.

Bu özel bir durum olması sebebi ile değil, baktığımız yer ile ilgili bir durumdur. Kaotik sistemler ve fraktaller denilince hedeflenen çoğu zaman belirsiz durumlar ve doğal şekiller olduğu için seçilen kurallar daha çok bu yönde sonuç üretecek şekilde olmaktadır.

Ancak Bilim merdiven basamakları gibi daha önce edinilen bilgiler ışığında ve bilgilerin birbirleri ile ilişkilendirilerek inşası ile ilerler ve yükselir. İşte bu sebeple Lineer sistemlerle Kaotik sistemlerin ortak noktaları tespit edilmelidir.

   
Örneğimize dönersek, fraktalimiz basit kurallarla oluşturulan iteratif (öz yinelemeli) bir sistemdir. Ve başlangıç koşullarına aşırı duyarlı olduğu için kaotiktir.

Başlangıç koşullarına aşırı duyarlı olmasını şu şekilde açıklayabiliriz. Çizgi uzunluğu her iterasyonda biraz kısalarak en sonunda “garip çekici” ’mizi yani üçgenimizi oluşturduğunda 3 tane kenarı ve 3 açısı olan bildiğimiz düzlem üçgeni meydana getirirler. Başlangıçta 1 tek çizgimiz varken şimdi 3 tane çizgi ve çizgi kavramının dışında bir olgu olan açı kavramını ortaya çıkarmıştır.

Başlangıçta tamamıyla keyfi olarak seçtiğimiz çizgi uzunluğumuz sonuçta ortaya çıkan üçgenimizin alanını değiştirecek çizgi uzunluklarını kısaltıp, işlemi uygularken seçtiğimiz kurala göre açıyı da değiştirecektir.

Bu ise başlangıç koşullarına aşırı duyarlı bir sistemin özelliğidir. Çizgi kavramından açı kavramına geçişte kaotik sistem ne tür bir ilişki içeriyorsa bir genelleme ile belirlenip, kaotik yapıların özellikleri daha iyi tespit edilebilir.

Örneğimizi bir adım daha ileri götürürsek, açı kavramı ile benzer bir işlem yapabiliriz yukarıda anlattığımız üçgeni oluşturduktan sonra bir çizginin kalınlığı kadar tabandaki çizginin sol uç noktasını çizginin orta noktası sabit tutularak yükseltilir. Aynı şekilde, çizginin sağ uç tarafı ters yöne doğru alçaltılacaktır.

Oluşturulan bu yeni çizgiye daha önce uyguladığımız kuralı uygularsak, iki tane benzer ancak farklı açılarda üst üste gelmiş üçgenimiz olacaktır. Bu işlemi de iteratif (tekrarlı) bir şekilde yaptığımızda daha ilginç bir “garip çekici” ye ulaşmış olacağız.

Evet, Oluşan şeklimiz bir “Daire” ‘dir.

“Küre” ise bu işlemin 3 eksende yapılması sonucu elde edebileceğimiz katı bir cisimdir. Düzgün dairesel hareket Daireyi oluştururken kullandığımız üçgenlerin sıfır uzunluklu çizgi noktalarını takip eden cisimlerin zaman içerisindeki yörüngeleri olarak görülebilir. Görüldüğü gibi sıfıra yakınsayan denklemler sonuçta lineer bir “garip çekici” oluştururlar.

Sizde aklınıza gelen diğer geometrik şekilleri ve Lineer denklem sistemlerini kaotik bir şekilde üretebilirsiniz.

Fraktal ve kaotik yapıların temel özelliği Merdiven basamakları gibi her adımda bir önceki adımı zemin olarak kullanmalarıdır. Basit kurallar çerçevesinde, zemin hep bir öncekinin sonucu üzerinde yükselir. Buna göre ilk zemin bu kuralı devam ettirecek yapıda değilse, bir sonraki zemin yani o işlemin sonucu uygun bir fraktal yapıda değildir.

Buradan çıkarabileceğimiz sonuç ise zeminin yani evrenin temel yapısının fraktal ve kaotik olduğudur. Sayı sistemlerimiz ve matematiğimiz bu kaotik yapıya uygun düşecek şekilde tasarlanmıştır.

Peki, Nedir bu temel yapı?

Temel yapının özelliği parçalardan oluşmasıdır. Evrende gördüğümüz her şey parçalardan oluşmuştur. Süreklilik yoktur. Madde parçalı bir yapıdadır. Enerji parçalı bir yapıdadır. Uzay-zaman parçalı bir yapıdadır. Sayılar parçalıdır. Bu parçalardan oluşan varlıklar ise fraktalleri oluşturabilmek için zemin hazırlar, düzenli deterministik sistemler ise bu yapının sınır durumları yani “garip çekicileridir.”



Düzenli sistemlerden oluşan kaotik yapıları yine düzenli yapılar elde edecek şekilde modellersek, Non-Lineer sistemlere de uygulayabileceğimiz kuralları, Lineer sistemlerden üreterek bulabiliriz.